Last updated on 2024. 11. 24.
YouTube를 보다가 어떤 알고리즘에 이끌려서 인지 무한급수를 가지고 살짝 장난(?) 치는 영상을 보게 되었다. 오랜만에 취미로 수학도 하고 옛 기억도 돌아보고 싶어서 오래된 전공서적을 꺼내들고 보고 있는 중이다.
수학을 공부하면 뭐가 좋을까? 새로운 사실을 안다는 것, 앎에 대한 즐거움이 있다.(!) 개인적으로 해석학 공부하면서 흥미로웠던 것 하나를 소개해 보려고 한다.
실수에서의 무한급수를 하나 생각해 보자. 보통 아래 예제를 많이 든다. 교대 조화급수(alternating harmonic series)를 살펴보자. 다음과 같다.
1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\dfrac15-\dfrac16+\dfrac17-\dfrac18+\cdots
이 급수는 수렴하게 되는데 조금만 따져보면 1보다 작은 값으로 수렴하는 것을 알 수 있다. 그런데 이 급수를 더하는 순서만 변경해서 다음과 같이 만들었다고 해 보자
\Bigl(1+\dfrac13+\dfrac15 \Bigr)- \Bigl( \dfrac12 \Bigr) + \Bigl( \dfrac17+\dfrac19+\dfrac1{11}+\dfrac1{13}+\dfrac1{15} \Bigr) - \Bigl( \dfrac14 \Bigr) +\cdots
홀수항이 +니깐 먼저 3개 더하고 짝수항 하나 빼고, 그다음 홀수항 5개 더하고 짝수항 하나 빼고, 홀수항 5개 짝수항 하나… 이렇게 더하는 순서를 변경해서 먼저 많이 더하고 조금씩 빼는 것이지만 순서만 변경했으니 여하튼 무한한 항을 더하게 되면 값이 동일하지 않을까?
하지만 결과값은 달라집니다.. 그걸 설명하는 글입니다.
몇 가지 용어를 정의해 보자.
Definition 1. 실수집합 \mathbb {R} 의 수열 x_n 을 생각하자. 만약 급수 \sum \lvert {x_n} \rvert 이 수렴하면, \sum {x_n} 을 절대수렴 이라 한다. 만약 급수 \sum {x_n} 이 수렴하지만, \sum \lvert {x_n} \rvert 이 수렴하지 않는다면, 급수 \sum {x_n} 을 조건수렴 이라 한다.
처음에는 절대값이 수렴하니깐 절대수렴 이렇게 받아들였는데, 절대수렴, 조건수렴이라는 이 용어를 참 잘 만들었다고 생각한다. 절대수렴하는 수열은 더하는 순서를 변경하더라도 동일한 값으로 수렴하는데, 조건수렴하는 수열은 어떤 조건에 따라 수렴하기도 하고, 발산하기도 한다.
Theorem 2. 실수집합 \mathbb {R} 의 급수가 절대수렴하면, 그 급수는 수렴한다.
증명) s_n을 x_n의 부분합 수열이라고 놓자. 그리고 급수 \sum x_n 이 절대수렴 한다는 것에 대해 Cauchy 정리를 사용해 보자.
\epsilon > 0 에 대해 m, n \in \mathbb {N} 이 존재해서 m>n>N 이면, ||s_m|-|s_n|| < \epsilon 이 성립한다. ( N \in \mathbb {N} ) 다시 적으면 |x_m|+|x_{m-1}|+ \cdots + |x_{n+1}|<\epsilon 이 된다.
이제 급수가 수렴함을 보이기 위해 |s_m-s_n| 을 계산해 보자.
|s_m-s_n| = |x_m+x_{m-1}+ \cdots +x_{n+1}| \\ < |x_m|+|x_{m-1}|+ \cdots + |x_{n+1}|<\epsilon
이므로 증명 끝.
Grouping of Series
어떤 급수에 대해서 순서는 변경하지 않고 괄호만 () 쳐서 연산하는 우선순위만 변경하는 것을 생각해 보자. 계속 위에서 예를 들었던 급수를
1-\dfrac12+\Bigl( \dfrac13-\dfrac14 \Bigr)+\Bigl( \dfrac15-\dfrac16+\dfrac17 \Bigr) -\dfrac18+ \\ \Bigl( \dfrac19 - \cdots + \dfrac1{13} \Bigr) - \cdots
와 같이 괄호를 유한개 쳐서 변경시킨 것을 생각해 보자. 이것을 급수의 grouping 이라고 한다.
Theorem 3. 만약 급수 \sum {x_n} 이 수렴하면, grouping을 통해 얻은 급수도 같은 값으로 수렴한다.
증명) 수열 {x_n} 을 다음과 같이 grouping 을 했다고 하자.
\Bigl(x_1, x_2, \cdots, x_{k_1} \Bigr), \Bigl(x_{k_1+1}, x_{k_1+2}, \cdots, x_{k_2} \Bigr) \\ \Bigl(x_{k_2+1}, x_{k_2+2}, \cdots, x_{k_3} \Bigr)
즉 앞에서부터 k_1 항까지 grouping, 그 다음항 k_1+1 부터 k_2 항까지 grouping 했다고 하자. grouping 을 했으므로 먼저 각각의 group의 합을 구하자. 각각의 group의 합을 y_1, y_2, y_3 \cdots 이라 놓고 다음을 생각해 보자.
첫번째 괄호까지의 합 : y_1 = \sum x_{k_1}
두번째 괄호까지의 합 : y_1 + y_2 = \sum x_{k_2}
세번째 괄호까지의 합 : y_1 + y_2 + y_3 = \sum x_{k_3}
위의 내용을 식으로 표현해 보자. n번째 괄호까지의 합을 t_n 그리고 부분합 s_n= x_1+x_2+\cdots+x_n 으로 놓자. 그러면
t_1 = s_{k_1},~ t_2 = s_{k_2},~ t_3 = s_{k_3}
를 얻을 수 있다. 즉 n번째 괄호까지의 합으로 만들어진 수열 t_n 은 s_n 의 부분수열이 된다. 그런데 가정에서 s_n 이 수렴한다고 했으므로 부분 수열인 t_n 또한 수렴하게 된다.
Rearrangements of Series
급수의 재배열(Rearrangements)이란 어떤 급수에 대해서 모든 항을 한 번씩 사용하되, 원래 급수와 순서만 변경되도록 만든 급수를 말한다. 그래서 원래 급수와 재배열된 급수 사이에는 일대일대응 관계가 있다고 이야기할 수 있다.
Theorem 4. 실수집합 \mathbb {R} 에서 임의의 급수 \sum x_n 이 절대수렴하면, \sum x_n 의 재배열을 통해 얻은 수열 \sum y_n 도 같은 값으로 수렴한다.
증명) s_n,~ t_n 을 각각 x_n,~ y_n 의 부분합 수열이라고 놓자. 즉 s_n= x_1 + x_2 + \cdots + x_n 이고 t_n= y_1 + y_2 + \cdots + y_n 이다. \sum x_n 이 절대수렴하므로 그 극한값을 L 이라 놓고, 극한의 정의를 사용해 보자.
\epsilon > 0 에 대해 N_1 이 존재해서 n > N_1 이면 |s_n-L| < \epsilon 이 성립한다.
그리고 \sum x_n 이 절대수렴 한다는 것에 대해 Cauchy 정리를 사용해 보자.
\epsilon > 0 에 대해 N_2 가 존재해서 m > N_2 이면
|x_m|+|x_{m-1}|+\cdots+|x_{N_2+1}| < \epsilon ~ \cdots (1) 이 성립한다.
(원래는 |s_m - s_n| < \epsilon 형태로 적는게 좋긴 할 텐데 문자가 많이 나와서 그냥 풀어서 적었다.)
y_n 은 x_n 의 rearrangement 이므로, 부분합을 생각하면 기껏해야 유한개의 항만이 순서가 변경되어 있다는 것을 고려하자. 그러므로 순서가 변경되어 있는 항보다 더 큰 충분히 큰 수 N 을 생각하면 x_1, x_2, \cdots, x_{N} 까지의 모든 항이 t_N 에도 나타날 것이다. 이러한 N > N_1, N_2 이 되도록 선택한다. 그러면 m > N 에 대해서|t_m - s_N| = |x_m+x_{m-1}+\cdots + x_{N+1}| \\ < |x_m|+|x_{m-1}|+\cdots +|x_{N+1}| \\ < |x_m|+|x_{m-1}|+\cdots +|x_{N_2+1}| < \epsilon 을 얻을 수 있다.
t_m 은 결국 x_n 의 재배열이라는 점을 생각하고 수식(1)을 이용하였다. 이 부분의 논리 전개를 위해 절대수렴이라는 조건이 필요하다.
이제 t_n 의 극한값이 L 임을 보이기 위해 다음을 계산해 보자. m \in \mathbb {N} 대해서 m > N 이라면,
|t_m-L| = |t_m-s_N + s_N - L| \\ < |t_m-s_N| + |s_N - L| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon임의의 \epsilon > 0 에 대해 성립하므로 t_n 은 L 로 수렴하게 된다.
암튼 무한의 세계에서는 순서를 막 바꿔서 계산하면 값이 변경될 수 있다는 것을 이야기하고 싶어서 이렇게 내용을 적어봤다. 절대수렴하는 수열에서만 순서를 바꿔서 계산하자;
워드프레스로 수식 적는 것 너무 힘드네…