Last updated on 2024. 12. 15.

복리법 이자 계산 관련해서 재미있는 주제가 있어서 적어봅니다.

100만원이 있습니다. 연이율 5%로 은행에 맡기려고 합니다. 복리로 이자계산이 기본이니깐 1년, 2년이 지나면 다음과 같이 원금이 불어나겠죠

100 \rightarrow 100(1+0.05)^1 \rightarrow 100(1+0.05)^2

먼저 1년 후로 한정해서 총 자산을 논의 해 봅시다. 총 자산을 y라고 하면

y= 100 \xrightarrow{1\,year}100(1+0.05)

그런데 만약 어떤 투자자의 제안으로 연이율을 반으로 하는 대신 6개월 2.5% 복리로 한다면 어떨까요?

y= 100 \xrightarrow{6\,month} 100\left(1+\frac{0.05}{2}\right) \xrightarrow{6\,month} 100\left(1+\frac{0.05}{2}\right)^2

이런 식으로 계속하면 연이율로 이자가 한 번 붙는 것 대신에 1년에 이자가 n번 발생하고 대신 연이율도 n으로 더 잘게 쪼개고 일반적으로 연이율이 r인 은행에 100만원을 맡긴다고 합시다. 그럼 1년 뒤에 원금은 다음과 같이 되겠죠.

100(1+\frac{r}{n})^n

이제 n의 횟수를 무한히 늘려서 극한값을 구해봅시다.

\lim \limits_{n\to\infty}100(1+\frac{r}{n})^n \\ = \lim \limits_{n\to\infty}100((1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}})^r = 100 e^r

이 됩니다. 자연로그의 밑 e의 정의가 (1+0)^\infty 형태이므로 위와 같이 수렴하게 됩니다. e의 1.05제곱이 약 5.127% 정도 되거든요. 연이율 5% 대비 조금 이득? 이긴 하겠네요.

1년 대신 기간이 t년 이라고 하고 원금 100=A 로 놓으면

\lim \limits_{n \to \infty}y(t) = \lim \limits_{n \to \infty}A\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} =Ae^{rt}

이 됩니다. 이제 이 결과를 기억해두고 모델링을 통해 비교 해봅시다.

모델링: \frac{dy}{dt}=ry 자산의 변화율은 현재 자산에 이율에 비례하여 변한다고 합시다. 변수분리법 미분방정식의 형태로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\int\frac{1}{y}\,dy = r\int\,dt

\ln y = rt +C

\therefore y(t)=e^{rt+C}

초기조건 y(0)=A=100 을 대입해서 C를 구하고 정리하면

y(t)=Ae^{rt}

두 결과가 동일합니다. 결국 위와 같은 긴 논리가 함축적으로 식으로 표현한 것이 미분방정식이라 할 수 있겠네요.