Last updated on 2024. 11. 24.
복리법 이자 계산 관련해서 재미있는 주제가 있어서 적어봅니다.
100만원이 있습니다. 연이율 5%로 은행에 맡기려고 합니다. 복리로 이자계산이 기본이니깐 1년, 2년이 지나면 다음과 같이 원금이 불어나겠죠
100 \rightarrow 100(1+0.05)^1 \rightarrow 100(1+0.05)^2 \\ \,그런데 연이율 5% 대신 반기 이율로 2번 이자가 붙는 조건에 대신 이율도 반인 2.5%로 하면 어떻게 될까요? 2년이 지나면 총 4번 이자가 붙을 겁니다.
100 \\ \rightarrow 100(1+0.025)^1 \rightarrow 100(1+0.025)^2 \\ \rightarrow 100(1+0.025)^3 \rightarrow 100(1+0.025)^4 \\ \,이런 식으로 계속하면 연이율로 이자가 한 번 붙는 것 대신에 월 이율로 이자가 매월 붙어서 12번 붙는 것이 더 좋을까요? 더 잘게 쪼개서 일반적으로 연이율이 r인 은행에 100만원을 맡긴다고 할 때, 그것 대신 n번 이자가 붙는 조건으로 이율도 r/n인 조건으로 100만원을 맡긴다고 해봅시다. 그럼 1년 뒤에 원금은 다음과 같이 되겠죠.
100(1+\frac{r}{n})^n \\ \,이제 n의 횟수를 무한히 늘려서 극한값을 구해봅시다.
\lim \limits_{n\to\infty}100(1+\frac{r}{n})^n = \lim \limits_{n\to\infty}100((1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}})^r \\ = 100 e^r \\ \,이 됩니다. 자연로그의 밑 e의 정의가 (1+0)^\infty 형태이므로 위와 같이 수렴하게 됩니다.
e의 1.05제곱이 약 5.127% 정도 되거든요. 연이율 5% 대비 조금 이득? 이긴 하겠네요!